Mathematische Rätsel

[Skiller]

Yo,

Da im "Schwere Rätsel"-Thread lange nichts mehr gepostet wurde, dachte ich mir, ich könne mal wieder ein Rätsel stellen. Allerdings fand ich das Prinzip problematisch, dass es im Thread nur dann weitergehen kann, wenn irgendein User ein neues Rätsel postet - viele User möchten nur mitraten und der Schwierigkeitsgrad und die Kategorie (Mathematik, Logik, Scherzfrage) der gestellten Rätsel variierte kontinuierlich.

Deshalb werde ich hier regelmässig mathematische Rätsel poste, die von interessierten Usern hoffentlich gelöst werden. Tipps gebe ich gerne - per PN oder im Thread - und antworten könnt ihr einfach per PN. Bitte keine Antworten im Thread - Fragen sind aber erlaubt! Falls ihr selber ein tolles, mathematisches Rätsel kennt, könnt ihr mir dieses per PN zukommen lassen und falls ich es ebenso toll finde, wird es natürlich hier im Thread aufgeführt.

Rätsel:

1. Würfelrätsel (gelöst von Majora)
2. Die Gefangenen (aufgelöst)
3. Karten sortieren (gelöst von Majora)
4. Die Gefangenen #2 (aufgelöst)
5. Zwei Töchter (gelöst von Gromrek)
6. Radius berechnen (gelöst von PENDRAGON und Vstrike ohne sauberen Lösungsweg)
7. Polynom bestimmen (aufgelöst)
8. Mama Nashi (gelöst von Stuhl)
9. Nashis Schokokuchen (aufgelöst)
10. 1...1 ist durch n teilbar (aufgelöst)

Rangliste:

1. Majora (6 Punkte)
2. Gromrek (3 Punkte)
3. colddi, ho-tdog, ligulehm. PENDRAGON, Stuhl, Vstrike (1 Punkt)
4. sternchenanna (0.5 Punkte)

Der schnellste Löser erhält drei Punkte, jeder andere, der das Rätsel löst, einen Punkt.

Zusatz: Ich werde die Rätsel in der Regel 24h nach drei richtigen Antworten auflösen. Sollte innerhalb von zwei Tagen niemand dazu in der Lage gewesen sein, das Rätsel zu lösen, werde ich einen Hinweis posten; nach zwei weiteren Tagen folgt ein weiterer Hinweis und nach insgesamt fünf Tagen wird spätestens aufgelöst. Gleichzeitig werde ich jeweils versuchen, ein neues Rätsel zu stellen.

Gruss

[Skiller]

Würfelrätsel: Gegeben sei ein gewöhnlicher Würfel mit sechs Seiten. Man weist jeder Ecke eine der Zahlen von 1-8 zu, sodass keine Zahl mehrfach vorkommt. Einer Kante wird anschliessend die Summe der beiden anliegenden Ecke zugewiesen. Ist es möglich, die Zahlen 1-8 so zu verteilen, dass keine Summe mehrmals vorkommt? Falls ja, wie? Falls nein, warum nicht?

Bruteforce ist eine Möglichkeit, das Rätsel zu lösen, aber natürlich gibt es einen weit eleganteren Weg, den es zu finden gilt. Viel Spass!

Lösung:

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http://penspinning.ch/uploads/puzzle/1.pdf

Gruss

[sternchenanna]

edit:
ein kleiner fehler
Das mit PN überlesen...

[Skiller]

Ich verstehe deinen Ansatz nicht ganz. [...] Und wie schon gesagt - bitte keine Antworten im Thread - ob sie richtig oder falsch sind. Vermutungen ebenfalls per PN, Fragen ohne Lösungsansätze gerne im Thread.

Gruss

[sternchenanna]

oh sry.. überlesen... ich änder es und erklär es dir nochmal..
nochmal sry XD

[Skiller]

Okay, das erste Rätsel wurde von Majora, colddi und ho-tdog korrekt gelöst, wer's noch nicht gelöst hat und etwas Zeit hat, kann das noch bis morgen versuchen; dann werde ich meine Lösung in obigen Post reineditieren. Da das Rätsel offensichtlich etwas leicht war, folgt hier gleich ein deutlich schwierigeres Rätsel - einfach mal damit ich euch einschätzen kann.

Die Gefangenen: 100 Gefangene sind in einem Gefängnis. In diesem Gefängnis gibt es einen grossen Raum mit 100 Schliessfächern - ein Schliessfach für jeden Gefangenen. Da einem Gefängniswärter ausserordentlich langweilig ist, beschliesst er, die Gefangenen zu einem Spiel zu zwingen:

Er schreibt auf 100 Zettel je einen Namen eines Gefangenen und legt diese Zettel dann in die Schliessfächer, sodass in jedem Fach ein Zettel ist. Anschliessend wird der erste Gefangene in den Raum gerufen. Er darf 50 Schliessfächer öffnen und wenn er dabei den Zettel mit seinem Namen findet, wird der nächste Gefangene in den Raum gerufen - der Raum wird zuvor wieder in den Originalzustand gebracht. Falls nun alle Gefangenen ihren eigenen Namen finden, so werden sie freigelassen, falls ein Gefangener dies nicht schafft, werden sie alle umgebracht.

Natürlich dürfen sich die Gefangenen vor Start des Spiels privat beraten, um eine höhere Überlebenschance zu haben; sobald das Spiel aber begonnen hat, gibt es für sie keine Möglichkeit mehr, miteinander zu kommunizieren. Würden die Gefangenen jeweils zufällig 50 Schliessfächer öffnen, so würde dies in eine Überlebenschance von (1/2)^100 resultieren. Allerdings sind die Gefangenen alle sehr intelligent und es gibt unter ihnen auch einige Mathematiker - diese schaffen es, eine Strategie zu entwickeln, mit der die Gefangenen eine Gewinnchance von über 30% besitzen - obwohl der Wärter ebenfalls ehemaliger Mathematiker ist und demnach ihre Strategie kennt! Wie soll das funktionieren?

Dieses Rätsel dürfte wesentlich mehr Hirn und mathematisches Wissen erfordern als letzteres. Ist also kein Ding, wenn ihr es nicht lösen könnt. Viel Spass!

Lösung:

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http://penspinning.ch/uploads/puzzle/2.pdf

Gruss

[<TL3>]

Der Wärter hat aber keine Chance während des Spiels gegen die Gefangenen zu agieren, oder ?
Sprich der Originalzustand ist immer der selbe, d.h. die Zettel werden nie in andere Schließfächer gesteckt ?

[Skiller]

Exakt, jeder Gefangene findet den Raum im gleichen Zustand vor.

Gruss

[Skiller]

Ich finde es übrigens amüsant, dass einige einfach die Lösung googlen und mir dann zusenden oder Teile davon und dann fragen, ob das der richtige Ansatz ist. Das merkt man ziemlich easy und finde ich irgendwie arm. Wenn ihr euch nicht die Zeit nehmen wollt, um ein Rätsel selbst zu lösen, und es lieber googlet, dann könnt ihr das gerne machen, aber haltet mich bitte nicht für dum.

Gruss

PS: Damit sind nicht alle gemeint, die mir eine PN geschrieben haben. Diejenigen, die ich meine, werden das schon wissen.

[Skiller]

Tipp #1: Betrachte (2n)!/(k!*(2n-k)!) * (k-1)! * (2n-k)!. Was ist das für eine Zahl?

Gruss

[Skiller]

Tipp #2: Die Gefangenen ordnen die Schliessfächer zufällig ihren Namen zu. Der erste Gefangene, der in den Raum gebracht wird, öffnet nun das Schliessfach, das seinem Namen zugeordnet wurde. Ist in diesem Fach der Zettel mit seinem Namen, so ist er fertig. Ansonsten öffnet er das Schliessfach, das zum eben gefundenen Namen gehört und dieser Prozess wird wiederholt, bis er fertig ist. Durch diese Strategie haben die Gefangenen eine Überlebenschance von über 30%. Warum?

Gruss

[Skiller]

Das zweite Rätsel wurde nun aufgelöst - leider ist es niemandem gelungen, selbständig die optimale Strategie zu finden oder wenigstens die Überlebenschance zu berechnen. Da die folgenden vier Tage das DE-Gather stattfindet, werde ich gleich zwei Rätsel stellen: Ein sehr leichtes Rätsel, welches praktisch keinerlei Mathematik erfordert und ein schwierigeres Rätsel, allerdings nicht so schwierig wie das Gefangenen-Rätsel.

Karten sortieren: Gegeben sei ein Kartendeck bestehend aus 52 Karten von denen 23 zufällige Karten aufgedeckt sind. Wie ist es möglich, das Deck mit verbundenen Augen in zwei Stapel zu teilen, sodass jeder Stapel dieselbe Anzahl aufgedeckter Karten enthält? Dabei dürfen natürlich beliebig viele Karten auf- bzw. zugedeckt werden.

Beim schwierigen Rätsel geht es wieder um Gefangene.

Die Gefangenen #2: Unendlich viele Gefangenen sind in einem Gefängnis. Auch hier gibt es einen Wärter, der ein grosser Fan von perfiden Spielen ist: Er stellt die Gefangenen in eine Reihe und setzt jedem einen roten oder blauen Hut auf, sodass jeder Gefangene die Hutfarbe der unendlich vielen Gefangenen vor sich sieht, nicht aber seine eigene (oder die Hutfarbe der Gefangenen hinter ihm). Die Gefangenen müssen nun gleichzeitig ihre eigene Hutfarbe raten; liegen nur endlich viele falsch, so dürfen sie zurück in ihre Zellen, ansonsten werden sie alle exekutiert. (die Gefangenen dürfen sich - nachdem sie die Hüte erhalten haben - natürlich nicht unterhalten und haben auch sonst keine Hilfsmittel wie Spiegel oder ähnliches...)

Erneut wird es den allesamt äusserst intelligenten Insassen vor Start des Spiels ermöglicht, sich auf eine Strategie zu einigen und wie es der Zufall will, ist auch dieses Mal wieder ein Mathematiker dabei. Dieser weiss genau, was anzustellen ist, sodass die Gefangenen zu 100% überleben. Wie soll das funktionieren?

Viel Spass!

Lösung:

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http://penspinning.ch/uploads/puzzle/3&4.pdf

Gruss

[Kazeem]

Skiller stell mal fröhlichere Rätsel, ist doch voll kacke wenn die nachher wieder in die Zellen zurückmussen, lass sie lieber frei.

[Skiller]

Was wäre die Welt mit unendlich vielen Kriminellen?

Gruss

[Kazeem]

Überfüllt?